電圧[V]と電流[A]を掛けるとなぜ電力[W]となるか？

まず電力[W]とは，仕事率の事で１秒[s]間に何[J]の仕事をする事ができるか？という能力です。
現在では，自動車の出力などでも，かつての「馬力」から，[kW]で表される様になっています。

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電気の単位である電圧[V]と電流[A]を掛け算するとなぜ力学的な仕事率[W]になるのでしょう？
人によっては[W]は電気の単位だと思っているかもしれません（私の妻とかはそうです）が，別にそれはそれで構わないでしょう。

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これを考えるためには，電圧[V]と電流[A]の成り立ちから考えないといけません。
SI単位系の基本単位は，[m], [kg], [s], [A]です。電圧のボルト[V]はありませんので，組み立て単位である事が分かります。そもそも，電圧のボルト（電池を発明したボルタに因んだネーミング）とは，電気的な落差（ポテンシャル）のことです。「落差」とは言っても目に見えず，物差しで計れませんので，エネルギーを使って決めます。

力学的な落差は，物差しで計れるため[m]ですが，目に見えない電気的な落差[V]はどう決めたら良いでしょうか？もし力学的な落差が物差しで計れないとすると，どう決めるか？高いものほど位置エネルギーが増えるはずですから，エネルギーを使うのが一番便利そうです。「1kgの質量が9.8Jの位置エネルギー*を得る落差を1mとする」と決めても良いはずです。

もともと物差しのない電気の落差「電圧[V]」の決め方はこれです。
「1Cの電荷が1Jの電気的エネルギーを得る電気的高さを1Vとする」
というものです。すなわち，1Vとは1J/Cということになります。

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一方，電流アンペア[A]はSI単位系では基本単位として使われていますが，元来は組み立て単位で，電流を研究したアンペールにちなんでつけられました。現在の電流[A]は力で定義されていますが，電荷クーロン[C]を使えば電流[A]の定義は[C/s]です。１s間にどれだけの電気量[C]が流れるかという量です。

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電圧[V]と電流[A]のなりたちが分かれば，両者の積は，単位だけを考えれば，

[V]×[A] → [J/C]×[C/s] → [J/s] → [W]　

となって即納得できるはずです。

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しかしながら，電気は目に見えないためか理解されにくようですので，目に見えるものに例えます。例えば水流です。落差*は[m]で表されますし，水流（流量）は[kg/s]で表されます。質量m[kg]にかかる重力はf=mg[N]ですから，水流が単位時間あたりに発生する力は[N/s]となります。

電圧と電流の場合と同じ様に単位だけ考えて，水流の持つ単位時間あたりの力[N/s]を落差[m]と掛け算すると，

[N･m/s] → [J/s] → [W]　

となります。

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ちなみに，２つの量を掛け算するとエネルギー[J]関連になる量の組み合わせはいろいろあります。

例えば圧力[Pa]と体積[m³]を掛け算しますと，
[Pa] × [m³] → [N/m²] × [N m]→ [J]　

とエネルギー[J]になります。これはいわばぎゅっと圧縮された圧力[Pa]と体積[m³]を持つ気体の持つエネルギーです。コンプレッサーで圧縮した空気で色んな作業ができるわけです。

また，磁界[A/m]と磁束密度[T]を掛け算しますと，
[A/m] × [T] → [A/m] × [Wb/m²] → [A/m] × [V･s/m²] → [J/m³]　

これは磁性体の持つ単位体積あたりの磁気エネルギーということになります。永久磁石なら磁石の強さ（と消えにくさ）になりますし，電磁石のコアならば電力損失になります***。

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*辻褄を合わせるため地球上の重力加速度9.8m/s²が入ります。
**実務計算では水の持つ速度や圧力を位置に換算した水頭[m]という量を使いますが，ここでは原理を述べるため単に落差[m]とします。
***単位はすべて[ ]内で表しますが，数値に付ける場合は[ ]を付ません。