音律を考える（5）（純正律の場合）

ピタゴラス律，ミーントーンと書いてきたので，純正律を書かないわけには行きません。

この義務感は全く良くないものですが（笑）。

今までのは，原理が単純ですから，計算さえ出来れば，場合によっては力わざで，理解できたのですが，純正律って一番シンプルそうで一番メンドウな（よくわからない）のです。

元の音を次々と3/2倍（純正5度）して行って，発生する音をオクターブ調整して並べたのが，ピタゴラス律。元の音の5度を4回重ねて5/4倍（純正長3度）になるように，5度を狭くしたのがミーントーン。

5度の純正を保てば，長3度が広く（ピタゴラスコンマをまたぐ間隔を除く）なり，長3度の純正を保てば，オクターブが狭くなってはげしいウルフを抱え込む。あっちを立てればこっちが立たず状態でした。それに対して，純正律の決め方は，主要３和音が純正音程関係，すなわち4：5：6の比率になるようにする。と言います。いわば，純正5度と純正長3度の両方どリです。そんなことが出来るのでしょうか？出来るなら良いに決まっていますが。。。

これでやると，

C=1　としてスタートしますと，

E=5/4

G=3/2

B=G×5/4=3/2×5/4=15/8

D=G×3/2×1/2=3/2×3/2×1/2=9/8

F=2×2/3＝4/3

A=2×5/6＝5/3

などと。これなら簡単に計算できます。なおFやAはオクターブ上のC=2から求めています。並べ直しておきますと，

C=1

D=9/8

E=5/4

F=4/3

G=3/2

A=5/3

B=15/8

ですね。問題は半音階です。急に複雑になるようで，入門書などには書かれていません。止めたほうがいいのかも知れませんが，エンハーモニック音がどうして出るのか？の行きがかり上避けて通れません。

この全音階の中で，狭い音程間隔は，

E→F

B→C

にあります。

これは，4/5→3/2とか，15/8→2とかですから，その比率は，

(3/2)/(4/5)=2/(15/8)=16/15

です。この半音はかなり幅が広いですね。ピタゴラス音階の広い半音2187/2048にほぼ一致します。そのため，これを全音的半音とかいうようです。半音が広いと，それだけでは無理が出そうです。もう一つの半音の決め方は，短3度を，5：6にとるのだそうです。

もしそれで短音階を作るならば，E♭= 6/5 とするのでしょうか？ハ短調で説明しているものもありますが，むずかしそうです。だってフラット3つ分しか出てきませんし，短音階で現われない音は長音階と同じ音を使っていいのでしょうか？純正律を説明したものは，この辺から急に分らなくなります。シンプルな理屈（やり方）を探してみますと，以下の記述がありました。

http://en.wikipedia.org/wiki/5-limit_tuning

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5リミットの純正律の作り方は以下の通りです。5リミットというのは，2以外に使う素数の最大が5，すなわち3と5の倍数を使うということだそうです。

中心を1にして，縦横に5の倍数（除数）と3の倍数（除数）と以下の通り並べます。そしてその縦横の値を掛け算し，2の倍数で適宜乗除してオクターブ内(1～2)に収めます。なお，素数のリミットはなんぼでも増やせるようです。7あたりも意味ありげですが，5リミットとします*。シンプルさも重要でしょう。

外側の1/9の列と，9の列に6つのエンハーモニック音が発生します。内側の9個の音に加えて，このエンハーモニック音から3個拾い出して音階に加えますが，その拾い上げ方で，3通りの純正律音階ができるようです。

この値をせんさくしてもメンドウですので，Excelを使ってギターのフレット的（弦1本のみ）にこの15音を並べて見ます。

オクターブ内に15音を持つ，5リミット純正律のフレッティング

比較のための12均等律（平均律）のフレッティング

いわば上の（上の）図が，5リミット純正律によるエンハーモニック・ギターのフレッティング（これは弦1本分のみを示したもので，弦毎にぎざぎざになります）になるわけですね。もちろん，ギターにはCの開放弦がないので，ハ調でやるとキザミがずれてきます。

純正律には最大の課題；転調問題がある訳ですが，メンドウなのでここでは触れないことにしますが，調が変われば共通には使えない音があるという事です。例えば，

ハ長調のドレミファ（ファ#）は，

1, 9/8, 5/4, 4/3(45/32)

ですが，ニ長調のドレミをD=9/8でスタートすると，

9/8, 81/64, 45/32 

となって，ニ長調用のレはハ長調用のミよりやや高いことが分ります。もちろん，

D=10/9でスタートすると，

10/9，5/4, 45/32 

となってハマります。この場合はD音を2種類使い分けることになります。

 

個別に言ってもきりありませんので，下にExcelで算出したハ長調の音律表を示します。

5リミット純正律の音律表

フレット図でもお分かりの通り，D, F#, Bbのあたりがエンハーモニック音程になっていることがわかります。上下で対称形になっているところが面白い（美しい）です。なお音名はC音より上げる方（3倍，5倍など）を#系，下げる方（1/3倍，1/5倍など）を♭系としました**。

何分エンハーモニック音に変なこだわりがありますが，実用的に大事な話としては，ハ長調の純正律は平行短調のIV和音DFAが破綻すると言われますが，エンハーモニック音を持つこの15音純正律では，Dの代わりにD-を用いると純正が保たれます。同じく同名短調のハ短調のV和音GBbDはダメですが， Bb の代わりに Bb+を用いると純正を保てます。

今回の結論

ここで取り上げた純正律の作り方（5リミット）ではオクターブ内に15個の音が発生する。エンハーモニック音は同一調に限れば，6個（3間隔）出る。平行・同名短調の3和音もエンハーモニック音により純正を保つことができる（つづく）

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*5リミットの純正律をEulerの純正律，7リミットをEuler-Fokkerの純正律と言うようです。Harry Parchは独自に純正律の理論を拡張し，11リミットの純正律を作っていますがここでは触れません。

**便宜的に音名を#系で書いて注釈していましたが，誤解があるといけないので表の音名そのものを書きなおしました，整数比率は同じです。

注記

思い違いがあり一部訂正しました。

数表が環境によりずれるので，画像に置き換えました。

コメント 2

Excelって便利なのですね。
純正律と言えばコーラスのイメージが強いです。
歌には”調律”がないので難しいと思うのですが、慣れれば”純正”の感覚が身につくのでしょうね。
by Cecilia (2011-01-23 21:07) 

Ceciliaさん，nice&コメントありがとうございます。
Excel（類似の表計算ソフト）を始めて使ったとき，世の中にこんな便利なものがあるのかと思いました。メンドウなプログラムが殆ど要りません。一昔前は音律計算も専用のプログラムとか使ったようですが。
純正律は単純な分数比に尽きますね。完璧なハモリですね。和声進行に伴うピッチの上下があるにしても，音律の女王なのではないでしょうか。
by Enrique (2011-01-23 21:54)